Um método de elementos finitos para a discretização das equações de BOUSSINESQ

Abstract

Nesta dissertação é apresentado um modelo de elementos finitos baseado nas equações de Boussinesq estendidas por Nwogu [60], BOUSSiw (versão unidimensional e bidimensional). Trata-se de um modelo especialmente indicado para a propagação de ondas não lineares e dispersivas que permite reproduzir alguns dos processos mais importantes envolvidos na propagação de ondas marítimas em regiões costeiras: a difracção, a refracção, a reflexão, o empolamento, a dispersão de frequência, a dispersão de amplitude e a geração de harmónicas. O modelo utiliza o pacote SPRINT (Berzins e Furzeland [14]) para a integração temporal e o método de Galerkin com uma malha não estruturada de elementos finitos triangulares para a discretização espacial. As condições de fronteira implementadas no modelo são a condição de reflexão total e a condição de radiação associada a uma zona absorvente. O modelo BOUSSiw resultou do aperfeiçoamento do modelo de elementos finitos de propagação de ondas, desenvolvido por Walkley [79]. Foram melhorados, neste trabalho, os aspectos relacionados com as oscilações numéricas, a geração e absorção de ondas no domínio de cálculo e a qualidade das malhas de elementos finitos utilizadas pelo modelo numérico. Assim, efectuou-se, no modelo BOUSSiw, a calibração do parâmetro de difusão artificial no domínio e nas fronteiras absorventes. Estabeleceu-se uma relação entre esse parâmetro de difusão artificial e as características da onda e da malha de elementos finitos. Implementou-se, também, uma nova condição de geração de ondas no interior do domínio por intermédio de uma função fonte (Wei et al. [82]). Esta nova condição de geração permite que as ondas reflectidas possam passar pela zona de geração e sair do domínio sendo absorvidas nas fronteiras absorventes. Para garantir a boa qualidade das malhas e o melhor desempenho do modelo foi desenvolvido um gerador automático de malhas de elementos finitos destinadas a modelos de propagação de ondas em zonas costeiras, designado por GMALHA. As malhas geradas têm refinamento local proporcional ao comprimento de onda e obedecem a critérios de qualidade, tais como: boa adaptabilidade às irregularidades da fronteira, forma dos triângulos o mais próxima possível da equilátera, valência dos nós igual a seis, variação suave do tamanho dos elementos e numeração dos nós da malha de modo a minimizar a largura de banda das matrizes. O desempenho deste gerador de malhas foi avaliado com dois casos de teste reais, observando-se, nestes casos, que a qualidade das malhas é boa e que o refinamento local permite reduzir o número de pontos das malhas e, consequentemente, os tempos de CPU necessários para gerar a própria malha, enquanto a renumeração dos nós permite diminuir a quantidade de memória utilizada pelos modelos numéricos assim como os tempos de CPU necessários para execução dos modelos numéricos. Foram também desenvolvidas interfaces com o utilizador para a construção dos ficheiros de dados e para a obtenção e visualização de resultados, tanto do modelo BOUSSiw como do gerador de malhas GMALHA. O modelo, com as alterações mencionadas foi validado e testado com casos de teste referidos na bibliografia, que simulam a propagação de ondas sobre um canal de profundidade constante (1D e 2D), sobre um quebra-mar submerso (Dingemans [18]) e sobre um baixio elíptico numa praia de inclinação constante (Berkhoff [13]). Finalmente, aplicou-se o modelo BOUSSiw a um caso de teste real: a propagação de ondas na bacia de adução da central termoeléctrica de Sines. Os resultados numéricos obtidos com este modelo foram comparados com os resultados de outros modelos numéricos e/ou experimentais. Em geral, verificou-se que o modelo simulou com precisão a propagação sobre fundos moderadamente inclinados e reproduziu bastante bem os efeitos não lineares (por exemplo, geração de harmónicas ou alterações na forma da onda) na propagação dessas ondas. No entanto, o modelo apresentou limitações em zonas onde os efeitos não lineares são significativos (águas muito pouco profundas), pois baseia-se nas equações de Nwogu que são deduzidas admitindo que os efeitos não lineares são da mesma ordem dos efeitos dispersivos e = O(m 2 ). Observaram-se também algumas oscilações numéricas no cálculo da elevação da superfície livre. Estas oscilações são controladas pelo valor do parâmetro de difusão artificial, o qual deve ser previamente calibrado de modo a não influenciar significativamente a solução numérica. O método da função fonte é eficaz na geração de ondas no interior do domínio de cálculo e, em geral, conduz a resultados numéricos mais próximos dos experimentais do que a geração de ondas na fronteira de entrada do modelo. Com este método, verificou-se também menor ocorrência de instabilidades numéricas. A aplicação do modelo ao caso real de propagação de ondas na bacia de adução da central termoeléctrica de Sines evidenciou capacidades de boa utilização em estudos de engenharia portuária e costeira.